سلام دوستان

امروز جزوه انالیز حقیقی و مختلط  رویدن که توسط دکتر املی  به زبان فارسی تهیه شده است را برای شما اماده کرده ایم.

مباحث:

فصل 1 انتگرال گیری مجرد (84 اسلاید)
فصل 2 اندازه های بورل مثبت (119 اسلاید)
فصل 3 فضاهای  L^p 
فصل 4 نظریه مقدماتی فضای هیلبرت (79 اسلاید)
فصل 5 چند نمونه از فضای باناخ (91 اسلاید)

مجموع : 408 اسلاید

برای دانلود اینجا کلیک کنید.

پسورد : mathbook.mihanblog.com

امرور جزوه انالیز ریاضی 2 که مولف ان دكتر علیرضا مدقالچی   و توسط علی مظهری به زبان فارسی تهیه شده است را برای شما قرار داده ایم.

مباحث:

فصل 1 : انتگرال های ریمان‌ ــ استیلتیس
فصل 2 :انتگرال های ناسره
فصل 3 :توابع با تغییر كراندار
فصل 4 :دنباله ها وسریهای توابع
فصل 5 : سری های توانی و توابع خاص

مجموع:282 اسلاید



برای دانلود اینجا کلیک کنید.

پسورد : mathbook.mihanblog.com

جزوه پاورپینت انالیز ریاضی 2 که مولف کتاب ان دکتر علیرضا مدقالچی می باشد و توسط حمید شجاعی تهیه شده است.

انالیز ریاضی 2 جزء واحد های تخصصی رشته ریاضی می باشد .

سرفصل های این جزوه اموزشی عبارتند از:

1. انتگرالهای ریمان-استیلتیس
2. انتگرالهای ناسره
3. توابع با تغییر محدود
4. دنباله ها و سریهای توابع
5. سریهای توانی و توابع خاص....

تست 1(سال 74):1-کدام یک از گزینه های زیر، صحیح نیست؟

1. هر زیر مجموعه ی محدب  همبند است.

2. هر زیر مجموعه ی همبند   که تک عضوی نیست، شمارش ناپذیر است.

3. هر زیر مجموعه ی همبند   یک بازه(=فاصله) است.

4. هر زیر مجموعه ی باز همبند   مجموعه ای محدب است.

حل تست:

گزینه ی 4.

فضای بین دو قرص متمایز بدون مرز هم مرکز در صفحه را در نظر بگیرید. این مجموعه در  باز و همبند است، اما محدب نیست.

 موفق باشید.

تست 2 (سال 74):

اگر  آنگاه A:

1) باز است.         2) فشرده است.         3) نه باز و نه بسته است.         4) شماراست.

حل تست:

گزینه ی 2.

توجه کنید که .

موفق باشید.

تست 3 (سال 75):

اگر  یک فضای متری و A و B زیر مجموعه های X باشند، کدام گزینه صحیح است؟ ( درون و  بستار A است.)

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 4.

برای رد سه گزینه ی اول، فضای متری X را فضای متری اقلیدسی  در نظر بگیرید و فرض کنید:

گزینه ی 4 را نیز می توانید به عنوان یک قضیه ثابت کنید.

موفق باشید.

تست 6 (سال 75)

اگر ، کدام یک از مجموعه های زیر در Y مجموعه ای باز است؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 2.

توجه کنید که یک مجموعه در یک فضا باز است، اگر و فقط اگر متمم آن در آن فضا بسته باشد. متمم مجموعه ی  در Y بازه ی  است که در Y بسته است. (البته روش دیگر، توجه به تساوی  و نیز قضیه ای  پرکاربرد در فضاهای متری است. چون  در  باز است پس  در Y باز بسته است.)

موفق باشید.

تست 7 (سال 76)

فرض کنید  و  به ترتیب گردایه ای از مجموعه های باز و بسته باشند، در این صورت:

1)  بسته است.

2)  بسته است.

3)  باز است.

4)  بسته است.

حل تست:

گزینه ی 1.

مجموعه ی  بسته است و می دانیم که اشتراک هر تعداد مجموعه ی بسته، مجموعه ای بسته است.

موفق باشید.

تست 8 (سال 76)

هر زیر مجموعه ی ....... در  ........ است.

1) فشرده - کامل

2) فشرده - همبند

3) کامل - فشرده

4) همبند - کامل

حل تست:

هیچ کدام از گزینه ها درست نیست.

برای رد 1 و 2 یک مجموعه ی متناهی در  را در نظر بگیرید. برای رد 3 مجموعه ی  را در نظر بگیرید و برای رد 4 مجموعه ی .

موفق باشید.

تست 9 (سال 76)

در هر فضای متریک، اگر مجموعه ی همبندی تک عضوی نباشد......

1) آن مجموعه شامل یک گوی باز است.

2) آن مجموعه شامل یک گوی بسته است.

3) تعداد عناصر آن ناشماراست.

4) تعداد عناصر آن شماراست.

حل تست:

گزینه ی 3.

رجوع کنید به آنالیز رودین فصل اول تمرین 19 ت.

موفق باشید.

تست 11 (سال 77)

مجموعه ی نقاط مرزی یک مجموعه ی E از یک فضای متریک، مجموعه ای است ...

1) باز

2) بسته

3) هم باز و هم بسته

4) نه باز و نه بسته

حل تست:

گزینه ی 2.

مرز زیر فضای E از X، مجموعه ی نقاطی از فضای X است که هر همسایگی از هر نقطه ی آن، اشتراکی ناتهی با E و متمم E داشته باشد. با کمی دقت می توان ثابت کرد که متمم مرز، باز و در نتیجه مرز، مجموعه ای بسته است. (البته راه دیگر، اثبات این مطلب است که مرز E، شامل نقاط حدی خود است.)

تست 16 (سال 79)

اگر  با متر معمولی در نظر گرفته شود، مجموعه ی  مجموعه ای است ..........

1) فشرده و همبند

2) نه فشرده و نه همبند

3) فشرده و ناهمبند

4) همبند است ولی فشرده نیست.

حل تست:

گزینه ی 2.

شکل A داخل هذلولی همراه با مرزهای آن است، بنابر این بی کران است و در نتیجه فشرده نیست؛ هم چنین به وضوح همبند نیست.

در فضای متریک  که ، مجموعه ی  (یعنی گوی باز به مرکز 2 و شعاع یک پنجم) برابر است با:

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 4.

کافی است تعریف گوی باز را بنویسید.

تست 18 (سال 80)

اگر ، آنگاه  کدام است؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 1.

A یک زیر فضای گسسته ی یک فضای متری اقلیدسی ناشماراست و لذا A شامل هیچ همسایگی از نقاط خود نیست.

تست 19 (سال 80)

قرار دهید  به عنوان زیر مجموعه ای از زوجهای مرتب در .

1)  نقطه ی درونی A است.

2) مجموعه ی A باز است.

3) مجموعه ی A بسته است.

4)  نقطه ی حدی این مجموعه است.

حل تست:

گزینه ی 4.

اگر یک بار m را ثابت نگاه دارید و n را به بی نهایت میل دهید و سپس m را به بی نهایت میل دهید، مشخص است که مبدأ نقطه ی حدی A است که عضو آن نیست. پس 3 درست نیست. از طرفی A شماراست و لذا 1 و 2 درست نیست.

ست 20 (سال 80)

کدام گزینه نادرست است؟

1) اجتماع هر دو مجموعه همبند با اشتراک ناتهی مجموعه ای است همبند.

2) اشتراک هر دو مجموعه ی همبند  برای ، مجموعه ای است همبند.

3) تنها زیر مجموعه ی (ناتهی) همبند فضای اعداد گویا، تک عنصری است.

4) تنها زیر مجموعه های (ناتهی) همبند فضای متریک گسسته، تک عنصری هستند.

حل تست:

گزینه ی 1.

دو قرص بسته ی مماس بر هم را در نظر بگیرید. هریک از آنها همبند ولی اجتماع آن ها همبند نیست.

نکته: برای گزینه ی 4 به اینجا مراجعه کنید. (یك فضای گسسته همبند نیست مگر اینكه تك عضوی باشد. زیرا در غیر این صورت مجموعه همه ی تك عضویها تشكیل یك جداسازی برای این فضا می دهد(چون در فضای گسسته هر مجموعه ی تك عضوی هم باز است وهم بسته) و می دانیم كه هر فضایی كه دارای یك جداسازی باشد همبند نیست. پس هر فضای گسسته با بیش از یك عضو همبند نیست.)

تست 21 (سال 80)

در فضای متریک ، کدام عبارت، مرز مجموعه ی A نیست؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 3.

با توجه به تعریف، مرز  عبارت است از ؛ حال کافی است قرار دهید  و .

تست 22 (سال 81)

فرض کنید  و ؛ آنگاه

1)  فشرده در Y است.

2)  باز و بسته در Y است.

3)  کامل در Y است.

4)  چگال در Y است.

حل تست:

گزینه ی 2 و 3 !!

به وضوح هر نقطه ی ، نقطه ی داخلی (نسبت به متر Y) است و  شامل نقاط حدی خود است؛ همچنین  مساوی نقاط حدی خود (البته به عنوان زیر فضای Y) و لذا کامل است.

 در Y فشرده نیست، زیرا در  فشرده نیست.  چگال در Y نیست، زیرا با بستار خود مساوی است.

تست 23 (سال 81)

کدام یک از نقاط، انباشتگی (تجمع یا حدی) مجموعه ی  است؟

1) 

2) 1

3) 

4) 2

حل تست:

گزینه ی 2.

قرار دهید m=1 و n را به بی نهایت میل دهید. (نقاط انباشتگی A مجموعه ی  است.)

کدام یک از توابع d در اعداد حقیقی، متر نیست؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 3.

در گزینه ی 3 داریم:   که مخالف تعریف متر است.

تست 25 (سال 81)

فرض کنید  یک فضای متریک و ؛ کدام گزینه همواره درست است؟

1) اگر A همبند نامتناهی باشد، آنگاه  کامل (Perfect) است.

2) اگر A کامل و کراندار باشد، آنگاه A فشرده است.

3) اگر A کامل باشد، آنگاه A ناشماراست.

3) اگر A کامل باشد، آنگاه همبند است.

حل تست:

گزینه ی 1.

برای اثبات گزینه ی 1، ثابت کنید که اگر  کامل نباشد، عضوی از A مانند a که نقطه ی تنهای آن است وجود دارد به گونه ای که مجموعه ی  در A هم باز است و هم بسته که متناقض همبندی A است. برای رد سه گزینه ی دیگر، X را اعداد گویا و A را مجموعه ی همه ی اعداد گویا در بازه ی  فرض کنید.

اگه مطالبی شبیه این میخوای رو لینکهای روبرو کلیک کن!!! : آموزشی انالیز ریاضی توپولوژی ++کنکور++

تست 26 (سال 82)

اگر ، کدام یک از گزینه های زیر صحیح است؟

1) نقاط انباشتگی A برابر است با  و نقاط مرزی A برابر است با 

2) نقاط انباشتگی A برابر است با  و نقاط مرزی A برابر است با 

3) نقاط انباشتگی A برابر است با  و نقاط مرزی A برابر است با 

4) نقاط انباشتگی A برابر است با  و نقاط مرزی A برابر است با 

حل تست:

گزینه ی 4.

بنابر تعریف نقاط انباشتگی و نقاط مرزی.

تست 27 (سال 82)

کدام مجموعه کراندار نیست؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 2.

کافی است به جای x در گزینه ی 2 عبارت  قرار داده، k را به سمت بی نهایت میل دهید. می توانید ببینید که قدرمطلق عبارات گزینه های دیگر، همگی از 1 کمتر یا مساوی هستند. 

تست 28 (سال 82)

کدام یک از احکام زیر، درست است؟

1) هر فضای متری همبند، شمارش ناپذیر یا تک عضوی است.

2) هر فضای متری همبند، دارای زیرمجموعه ای شمارش پذیر و چگال است.

3) هر فضای متری فشرده، شمارش پذیر است.

4) هر فضای متری همبند، کامل است.

حل تست:

گزینه ی 1.

برای اثبات به کتاب اصول آنالیز رودین ص 57 تمرین 19 ت مراجعه فرمایید.

گزینه ی 2 یه این معناست که هر فضای متری همبند، جدایی پذیر است که درست نیست. (فضای دنباله های حقیقی کران دار با نرم سوپریمم). گزینه های 3 و 4 نیز با زیرفضاهای  و  رد می شوند.

تست 29 (سال 82)

فرض کنیم  یک فضای متری باشد، برای  درون A را با  نشان می دهیم. هرگاه ، کدام گزینه صحیح است؟ (A و B زیرمجموعه های X هستند.)

1) تنها وقتی  که A بسته و B باز باشد یا بالعکس.

2) تنها وقتی  که A یا B بسته باشد.

3) هر گاه A در X بسته باشد، آنگاه .

4) همواره .  

حل تست:

گزینه ی 3.

در حالت کلی تر ثابت کنید که اگر A بسته باشد و ، آنگاه 

تست 30 (سال 82)

فرض کنیم X یک فضای متری،  و  مجموعه ی نقاط حدی (انباشتگی) E باشد. کدام گزاره همواره برقرار است؟

1)  بسته و کران دار است.

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 4.

 مجموعه ای بسته است.

تست 31 (سال 82)

فرض کنیم  زیر مجموعه ای ناتهی و سره باشد به طوری که  همبند است، در این صورت:

1) A فشرده است.

2) A بی کران است.

3) A درون تهی است.

4) A حداکثر شماراست.

حل تست:

گزینه ی 2.

 باید تک نقطه ای یا یک بازه باشد (بازه ی متناهی یا نامتناهی)، بنابر این A به صورت   است که B یک مجموعه ی تک عنصری یا یک بازه است، پس A در هر صورت بی کران است.

بقیه ی گزینه ها با مثال نقض  رد می شود.

تست 32 (سال 82)

کدام گزینه صحیح است؟

1) هر مجموعه ی نامتناهی از اعداد حقیقی، باز است.

2)  مجموعه ای باز است.

3) مجموعه ی ناتهی بازی مانند A از اعداد حقیقی وجود دارد که نمی توان آن را به صورت اجتماعی از فواصل باز نوشت.

4) برای هر دو زیر مجموعه ی A و B از  داریم: 

حل تست:

گزینه ی 2.

به وضوح هر نقطه ی مجموعه ی  نقطه ای درونی (داخلی) است و در نتیجه این مجموعه باز است.

برای رد گزینه ی 1 مجموعه ی اعداد صحیح را در نظر بگیرید. گزینه ی 3 نیز صحیح نیست، زیرا بنابر قضیه ی معروفی در آنالیز، هر زیر مجموعه ی باز  اجتماع شمارایی از همسایگی ها است (تمرین 22 و 23 فصل 2 اصول آنالیز ریاضی رودین). برای رد گزینه ی 4، A را مجموعه ی اعداد گویا و B را مجموعه ی اعداد اصم (گنگ) در نظر بگیرید.

تست 33 (سال 82)

فرض کنید X یک فضای متریک است. اگر بستار زیرمجموعه ای چون A را با نماد  نمایش دهیم، آنگاه برای خانواده ی دلخواه  از زیر مجموعه های X، کدام گزاره همواره درست است؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 1.

دقت کنید که عبارت سمت راست گزینه ی 1، مجموعه ای بسته است و   و ، از طرف دیگر  کوچک ترین زیرمجموعه ی بسته ی X شامل A است؛ از این دو مطلب، درستی گزینه ی 1 ثابت می شود.

برای رد گزینه های 2 و 4 قرار دهید:  و برای رد گزینه ی 3 قرار دهید: .

تست 34 (سال 83)

اگر A و S-A یک جداسازی فضای ناهمبند S باشد، آنگاه کدام گزینه درست نیست؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 3.

با توجه به تعریف جداسازی، A و S-A بسته اند، بنابر این .

تست 35 (سال 83)

اگر  یک فضای متری و ، آنگاه کدام گزینه همواره صحیح نیست؟ ( درون A است.)

1) 

2) برای هر عدد طبیعی n، 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 1.

?

اگه مطالبی شبیه این میخوای رو لینکهای روبرو کلیک کن!!! : آموزشی انالیز ریاضی توپولوژی مطالب ریاضی عجایب ریاضی

1- بازه ی بسته ی  [0,1] را در نظر بگیرید.حال یک سوم میانی آن یعنی (1/2,2/3) را حذف کنید. پس الان دو بازه ی بسته داریم [0,1/3] و [2/3,1]. حال یک سوم میانی این دو بازه را هم حذف کنید. حاصل چهار بازه ی بسته ی [0,1/9] ، [2/9,1/3] ، [2/3,7/9] و
[8/9,1] است. اگر روند حذف یک سوم های میانی را تا بینهایت ادامه دهیم به مجموعه ای می رسیم که مجموعه ی کانتور نامیده می شود و در سال 1883 توسط ریاضی دان آلمانی، جرج کانتور معرفی شد. این مجموعه دارای خواص عجیبیست که در ادامه به این خواص خواهیم پرداخت.

2- طول بازه هایی که حذف کرده ایم چقدر است؟ اول بازه ای بطول 1/3 را برداشتیم، بعد دو بازه بطول 1/9 ، سپس چهار بازه بطول 1/27 و به همین ترتیب در مرحله ی n ام
2^(n-1) بازه بطول 1/(3^n) را حذف کرده ایم. مجموع طول تمام بازه های حذف شده، یک سری هندسی با جمله ی اول 1/3 و قدرنسبت 2/3 می سازد پس طول بازه های حذف شده برابر است با جمله ی اول سری، تقسیم بر "یک منهای قدرنسبت" یعنی یک!!! یعنی ما از بازه ی[0,1] به اندازه کل طول آن، بازه حذف کرده ایم، اما هنوز نقاطی باقی مانده اند!!! نقاطی مثل صفر، یک، یک سوم، دو سوم و بطور کلی ابتدا و انتهای بازه های حذف شده،هیچ گاه حذف نمی شوند.

3- خاصیت عجیب تر آنکه، تعداد نقاط مجوعه ی کانتور دقیقا با تعداد نقاط بازه ی [0,1]مساویست!!! برای اثبات این مسئله باید تابعی یک به یک و پوشا بین نقاط مجموعه ی کانتور و بازه ی [0,1] بسازیم.برای این کار در هر مرحله از ساخت مجموعه ی کانتور عددی را به بازه های باقی مانده نسبت می دهیم. در مرحله ی اول به بازه ی [0,1/3] عدد 0.0 و به بازه ی [2/3,1] عدد 0.2 را نسبت می دهیم. در مرحله ی بعد به [0,1/9] عدد 0.00 ، به [2/9,1/3] عدد 0.02، به [2/3,7/9] عدد 0.20 و به [8/9,1] عدد 0.22 را نظیر می کنیم.با ادامه ی این روند مجموعه ی کانتور شامل تمام اعداد به فرم
0.a-1 a-2 … a-n … است که a-n ها یا صفرند یا دو. حال اگر تمام اعداد بازه ی [0,1] را در مبنای دو نمایش دهیم، این بازه شامل تمام اعداد به فرم  0.a-1 a-2 … a-n … است که a-n ها یا صفرند یا یک. حال ساختن تابعی یک به یک و پوشایی که مجموعه ی کانتور و بازه ی [0,1] را به هم نظیر کند کار ساده ایست.

4- عجیبست!!! مجموعه ی کانتور، زیر مجموعه ی [0,1] است اما تعداد نقاطش با [0,1] برابر است!!! مشابه این موضوع را میتوان جاهای دیگر هم مشاهده کرد مثلا تعداد اعداد طبیعیN={1,2,…} با تعداد اعداد صحیح  Z={…,-2,-1, 0,1,2,…} برابر است!!! ظاهرا تعداد اعداد صحیح (بجز صفر) دو برابر تعداد اعداد طبیعی است چرا که به ازای هر عدد n در N اعداد n و –n در Zوجود دارند اما برابر بودن تعداد اعضا به معنای دقیق ریاضی، همان مسئله ی وجود تابع یک به یک و پوشا بین N و Z است. کافیست تابعی بسازیم که 1 را به 0،  2 را به 1،  3 را به -1،  4 را به 2،  5 را به -2 و ... و  2n را به n و 2n+1 را به –n نظیر کند. این تابع یک به یک و پوشاست پس تعداد اعداد صحیح (بجز صفر) برخلاف آنچه به نظر می رسد دو برابر اعداد طبیعی نیست. این خواص عجیب بخاطر اینست که تعداد اعضای این مجموعه ها(N و Z) متناهی نیست. وضعیت برای مجموعه ی کانتور و [0,1] هم مشابه است.

4- طول یک بازه ی دلخواه [a,b] برابر است با b-a . حال ببینیم طول مجموعه ی کانتور چقدر است. درمرحله ی اول ساخت آن، دو بازه ی [0,1/3] و [2/3,1] مجموعا دارای طول 2/3 هستند. در مرحله ی دوم، چهار بازه ی [0,1/9] ، [2/9,1/3] ، [2/3,7/9] و [8/9,1] روی هم رفته دارای طول 4/9 یا (2/3)^2 هستند و بطور کلی در مرحله n ام بازه های باقی مانده دارای طول(2/3)^n می باشند.چون مراحل ساخت مجموعه ی کانتور بینهایت بار است لذا طول مجموعه ی کانتور برابر است با 2/3 به توان بینهایت که چون 2/3 از یک کمتر است لذا به توان بینهایت برابر خواهد شد با صفر. پس طول مجموعه ی کانتور صفر است هر چند تعداد نقاطش با بازه ی[0,1] بطول یک، برابر می باشد!!!

5- مجموعه ی کانتور یک فراکتال است چرا که خاصیت اصلی فراکتال ها یعنی خود متشابهی را داراست پس طبیعتا همه ی خواص پیچیده و عجیب فراکتال ها را هم میتواند داشته باشد!!! (برای اطلاعات بیشتر در مورد فراکتال ها به اینجا مراجعه کنید)

6- اما سایر خواص این مجموعه ی عجیب که کمی تخصصی تر هستند و درکشان نیاز به پیش زمینه ی ریاضی بیشتری دارند.  متمم مجموعه ی کانتور، متشکلست از بینهایت مجموعه ی باز(همان مجموعه هایی که از [0,1] حذف کردیم) لذا متمم مجموعه ی کانتور مجموعه ایست باز، پس خود مجموعه ی کانتور بسته است. چون این مجموعه ی بسته، کراندار هم هست لذا در R فشرده است (طبق قضیه ی معروف هاینه بورل در آنالیز ریاضی) اما عجیبست که با وجود فشرده بودن هیچ جا چگال نیست اما در عین حال کامل (perfect) است!!! در واقع در بازه ای به شعاع اپسیلون (هر اپسیلون دلخواه) و مرکز x (عضوی از مجموعه ی کانتور) نقطه ای از مجموعه ی کانتور بجز x و همچنین نقطه ای خارج از مجموعه ی کانتور موجود است پس هر نقطه ی مجموعه ی کانتور تجمعی است اما هیچ نقطه ی آن درونی نیست. چون مجموعه ی کانتور بسته است و هر نقطه ی آن تجمعیست لذا کامل (perfect) است اما چون هیچ نقطه ی درونی ندارد، هیچ جا چگال نیست!!!

7- مجموعه کانتور نمونه ای از مجموعه های به ظاهر ساده اما پیچیده در دنیای ریاضیات است و نشان می دهد که درک شهودی چقدر میتواند در بررسی مسائل ناتوان باشد. آری در دنیای ریاضیات به چشمهایت هم نباید اطمینان کنی!!!

مؤلف این کتاب Paul Loya از دانشگاه بینگهمتون آمریکا می باشد و می توان گفت که یکی از بهترین و پرمحتواترین کتاب های آنالیز ریاضی مقدماتی به خصوص در مبحث سریها و حاصلضرب های نامتناهی و همچنین آشنایی مقدماتی با تابع زتای ریمان می باشد.


.... دانلود